CLASE DE MATEMATICA GRADO 10° DEL 27 DE FEBRERO DEL 2025 SEMANA # TEMA: FUNCIONES

 

	ÁREA: MATEMATICA	GRADO: 10°
	DOCENTE: ENAIDO MALDONADO POLO	CORREO: matematica. ceqa@gmail.com
	FECHA: DEL  27 DE FEBRERO DEL 2025	PERIODO: PRIMERO
	VALOR: SENTIDO DE PERTENENCIA	FRASE:  “SOMOS CEQUEAMISTAS FORMADOS EN VALOR, LLEVAMOS EN LA SANGRE RESPETO-EDUCACION”

FECHA: DEL 27  DE FEBRERO DEL 2025

 GRADO: 10°

TEMA: FUNCIONES

SUBTEMA: EL PRODUCTO CARTESIANO Y LA RELACION

LOGRO. Reconoce el las funciones y su relación.

ACTIVIDAD PREVIA: Exploro mis conocimientos. ¿Que es una función? lluvia de ideas. 

EL PRODUCTO CARTESIANO Y LA RELACION

DEFINICION PAGINA 31 DEL LIBRO

Producto cartesiano

Trabajamos anteriormente con las operaciones usuales entre conjuntos como la unión, intersección, diferencia, etc. Existe otra operación que podemos entender como una multiplicación de conjuntos, que consiste en formar un nuevo conjunto cuyos elementos sean pares ordenados con primera y segunda componente del primer y segundo conjunto respectivamente.

Definición: sean A y B dos conjuntos, producto cartesiano de A y B, denotado A×B, es el conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y la segunda a B.

A × B = {(a,b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}

Ejemplo: el producto cartesiano de los conjuntos A = {a, b, c} y B = {1, 2} es el conjunto:

A × B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}

Como nos dice la definición, al producto cartesiano pertenecen todos los pares ordenados que se pueden formar con primera componente de A y segunda de B.

Algo importante a destacar es que A×B no es lo mismo que B×A, hagamos la prueba:

B × A = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}

Nos damos cuenta rápidamente de que B×A no es igual al conjunto A×B, pues antes habíamos visto que las componentes de un par no pueden cambiarse de lugar si no son iguales. Por tanto, podemos decir que el orden en que aparecen los conjuntos es importante para calcular el producto cartesiano.

En particular, si los conjuntos A y B son iguales, tenemos el producto cartesiano:

A × A = A2 = {(a,b) | a ∈ A ∧ b ∈ A}

Por ejemplo, con A={1, 2}: A × A = A2 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}.

Podemos extender la definición de producto cartesiano al caso de tener tres conjuntos, en este caso también debemos extender la definición de par ordenado a terna ordenada, con tres elementos. Se sigue la misma lógica que en el caso de dos conjuntos.

Dados tres elementos a, b y c, llamaremos terna ordenada abc al conjunto {{a}, {a, b}, {a, b, c}} que denotamos como (a, b, c).

Definición: producto cartesiano de los conjuntos A, B y C es el conjunto

A × B × C = {(a, b, c) | a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C}

Otros ejemplos de productos cartesianos:

• El conjunto de los números racionales se define como el producto cartesiano entre el conjunto de los números enteros y él mismo pero sin el cero: Q = Z × Z*.
• El conjunto de los números complejos se define como el producto cartesiano entre el conjunto de los números reales y él mismo: C = R × R.

Cómo calcular el producto cartesiano

Veamos algunas técnicas que podemos utilizar para facilitar el cálculo de los productos cartesianos. Esto solo servirá cuando tengamos conjuntos de pocos elementos y debamos expresar el producto por extensión. En el caso de tratar con conjuntos infinitos, dejar expresado el producto cartesiano como en la definición, es decir, por comprensión, es más que suficiente.

Producto cartesiano de 2 conjuntos

Al tratar con pares ordenados, podemos utilizar un plano con coordenadas cartesianas para representar los elementos de ambos conjuntos y hallar su producto. En el eje horizontal situamos los elementos del primer conjunto y en el eje vertical los del segundo conjunto. Luego, formamos los pares ordenados correspondientes.

Por ejemplo, sean los conjuntos A={1, 3} y B={b, c}, buscamos calcular A×B. El gráfico cartesiano nos quedaría de la siguiente manera:

Producto cartesiano A×B

De aquí extraemos que A×B = {(1,b), (1,c), (3,b), (3,c)}. Otra forma más compacta consiste en una tabla que sigue la misma lógica que el gráfico, como la siguiente:

c	(1, c)	(3, c)
b	(1, b)	(3, b)
A × B	1	3

De aquí llegamos a los mismos pares ordenados para el producto cartesiano.

Producto cartesiano de 3 conjuntos

En el caso de tener tres conjuntos, la representación de A×B×C no sería en un plano, sino en el espacio, debido a las tres componentes de la terna. Sin embargo, para no complicarnos haciendo gráficos tridimensionales, podemos primero calcular el producto de los dos primeros conjuntos y, utilizando los pares obtenidos, formar las ternas con el proceso anterior. Es decir, hacer (A × B) × C.

Ejemplo: sean A = {a, b, c}, B = {1, 2} y C = {7, 8}. Calculamos primero A×B:

2	(a, 2)	(b, 2)	(c, 2)
1	(a, 1)	(b, 1)	(c, 1)
A × B	a	b	c

Entonces, A × B= {(a, 2), (b, 2), (c, 2), (a, 1), (b, 1), (c, 1)}. Estos pares obtenidos los situamos ahora en el eje horizontal y en el vertical colocamos los elementos de C:

8	(a, 2, 8)	(b, 2, 8)	(c, 2, 8)	(a, 1, 8)	(b, 1, 8)	(c, 1, 8)
7	(a, 2, 7)	(b, 2, 7)	(c, 2, 7)	(a, 1, 7)	(b, 1, 7)	(c, 1, 7)
A × B × C	(a, 2)	(b, 2)	(c, 2)	(a, 1)	(b, 1)	(c, 1)

De aquí ya podemos extraer todas las ternas de A × B × C = {(a, 2, 8), (b, 2, 8), (c, 2, 8), (a, 1, 8), (b, 1, 8), (c, 1, 8), (a, 2, 7), (b, 2, 7), (c, 2, 7), (a, 1, 7), (b, 1, 7), (c, 1, 7)}

ACTIVIDAD EN CASA:

1. Sean los conjuntos $A=\{4,5,6\}$ y $B=\{d,e\}$, Halla su producto cartesiano de $A\times B$ y $B\times A$ 

2. Sean loa conjuntos  P = (a,b,c,d) y Q=(3,5,7,9,11) , Halla su producto cartesiano PXQ y QXP