	ÁREA: MATEMATICA	GRADO: 11°
	DOCENTE: ENAIDO MALDONADO POLO	CORREO: matematica. ceqa@gmail.com
	FECHA: DEL 19 Y 21 DE MARZO DEL 2025	PERIODO: PRIMERO
	VALOR: SENTIDO DE PERTENENCIA	FRASE: “SOMOS CEQUEAMISTAS FORMADOS EN VALOR, LLEVAMOS EN LA SANGRE RESPETO-EDUCACION”

FECHA: DEL 19 Y 21 DE MARZO DEL 2025

GRADO: 11°

TEMA: ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

SUBTEMA: ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

LOGRO. Reconoce el conjunto de las desigualdades de los números reales.

ACTIVIDAD PREVIA: Exploro mis conocimientos. ¿Que son ecuaciones con valor absoluto?. lluvia de ideas.

ECUACIONES CON VALOR ABEOLUTO

DEFINICION PAGINA 45 Y 46

Ecuaciones con valor absoluto

Aquí te explicamos cómo se resuelven las ecuaciones con valor absoluto. Además, encontrarás varios ejercicios resueltos paso a paso de ecuaciones con valor absoluto para poder practicar.

Cómo resolver ecuaciones con valor absoluto

Para resolver una ecuación con valor absoluto se deben seguir los siguientes pasos:

Despejar el valor absoluto en un miembro de la ecuación.
Negar el otro miembro de la ecuación para obtener dos ecuaciones: la primera con ese miembro negado, y la segunda con ese miembro sin negar.
Resolver las dos ecuaciones obtenidas en el paso anterior.
Comprobar las soluciones halladas sustituyendo sus valores en la ecuación original.

Ten en cuenta que las ecuaciones con valor absoluto también se pueden llamar ecuaciones con módulo.

Recuerda que el valor absoluto (o módulo) de un número es igual al valor del número sin el signo. Por lo tanto, el valor absoluto es una operación matemática que convierte todo su interior en positivo.

$\lvert 5\rvert = 5$

$\lvert-5\rvert = 5$

Ejemplo de una ecuación con valor absoluto resuelta

Para que quede claro cómo se hacen este tipo de ecuaciones, a continuación veremos la resolución de una ecuación con valor absoluto paso a paso como ejemplo:

$\left|2x-1\right|-5=0$

Lo primero que debemos hacer es despejar la expresión con valor absoluto. Así que movemos de miembro el término -5 cambiando su signo:

$\left|2x-1\right|=5$

En segundo lugar, debemos negar el miembro de la ecuación que no tiene el valor absoluto. De esta manera conseguiremos dos ecuaciones: una ecuación con el segundo miembro positivo, y otra ecuación con el segundo miembro negativo.

propiedades ecuaciones con valor absoluto

Este paso se hace porque en realidad el interior del valor absoluto puede ser igual a un número positivo o un número negativo, ya que el valor absoluto transforma su argumento en positivo. En consecuencia, se deben hallar los valores de x que cumplen la ecuación dando un resultado positivo y los que cumplen la ecuación dando un resultado negativo.

Y, una vez tenemos las dos ecuaciones, debemos resolver cada una por separado:

Por un lado, resolvemos la ecuación de primer grado con el 5 positivo:

$2x-1=5$

$2x=5+1$

$2x=6$

$x=\cfrac{6}{2}$

$x=3$

Y, por otro lado, resolvemos la ecuación de primer grado con el 5 negativo:

$2x-1=-5$

$2x=-5+1$

$2x=-4$

$x=\cfrac{-4}{2}$

$x=-2$

Por lo tanto, la ecuación tiene dos posibles soluciones, que son x=3 y x=-2.

Ahora tenemos que comprobar si las dos son soluciones de la ecuación con valor absoluto. Para ello, sustituimos cada valor obtenido en la ecuación original y miramos si se cumple la igualdad:

$x= 3 \quad ?$

$\left|2\cdot 3-1\right|-5=0$

$\left|5\right|-5=0$

$5-5=0$

$0=0$ ✅

$x=-2 \quad ?$

$\left|2\cdot (-2)-1\right|-5=0$

$\left|-5\right|-5=0$

$5-5=0$

$0=0$ ✅

Las dos soluciones halladas verifican la ecuación con valor absoluto, por lo tanto, ambas son soluciones de la ecuación. Esta condición se puede expresar de la siguiente manera:

$x = \bigl\{ 3 \ ; -2 \bigr\}$

En este caso, las dos soluciones obtenidas eran soluciones verdaderas de la ecuación. Sin embargo, podría ser que alguna de ellas no fuera solución, o incluso, que ninguna de las dos lo fuera.

Ahora que ya has visto cómo se calculan las ecuaciones con valor absoluto, te recomendamos que veas cómo resolver inecuaciones con valor absoluto. El procedimiento es prácticamente igual, pero hay algunos detalles importantes en las inecuaciones.

Ejercicio 1

Resuelve la siguiente ecuación con valor absoluto:

$\left|2x-3\right|+1=8$

SOLUCION:

Primero de todo, despejamos el valor absoluto en un miembro de la ecuación:

$\left|2x-3\right|=8-1$

$\left|2x-3\right|=7$

Y luego negamos el miembro de la ecuación sin el valor absoluto, para así obtener dos ecuaciones: una ecuación con el segundo miembro positivo, y otra ecuación con el segundo miembro negativo.

$\displaystyle \left|2x-3\right|=7 \ \longrightarrow \begin{cases}2x-3 =7 \\[2ex] 2x-3 =-7\end{cases}$

Ahora resolvemos las 2 ecuaciones por separado:

$2x-3 =7$

$2x=7+3$

$2x=10$

$x=\cfrac{10}{2}$

$x=5$

$2x-3 =-7$

$2x=-7+3$

$2x=-4$

$x=\cfrac{-4}{2}$

$x=-2$

De modo que la ecuación tiene dos posibles soluciones, x=5 y x=-2. Pero debemos verificar si realmente son soluciones de la ecuación. Y, para ello, sustituimos cada valor en la ecuación original y miramos si se cumple la igualdad:

$x= 5 \quad ?$